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Publié : 4 mars 2014
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TraAM : Les différentes activités proposées sur 2012-2013


Extrait de la synthèse académique du TraAM 2012-2013 : Télécharger la synthèse

Cette année, nous avons décidé de nous concentrer davantage sur les questions suivantes avec des productions de collège (...) et du lycée général et technologique :

  • Comment développer au quotidien l’autonomie des élèves dans l’utilisation des outils de calcul instrumenté, utiles pour la résolution de tâches complexes ?
  • Comment développer au quotidien les automatismes liés au calcul littéral ?

    Comment développer l’intelligence de calcul ?

  • Quels types de progressions adopter pour favoriser l’apprentissage du calcul algébrique (entraînement, remédiation, approfondissement) ?
  • Quelles situations (non forcément « ouvertes ») proposer dans notre enseignement permettant l’intégration du calcul instrumenté ne se réduisant pas à une activité « presse-bouton » mais permettant également de raisonner, de développer des compétences calculatoires ainsi que l’intelligence de calcul ?

1. Développer des compétences calculatoires, l’intelligence de calcul et l’autonomie lors de la résolution de problèmes


1. Développer et entretenir les automatismes

Afin de résoudre des problèmes « ouverts » de manière autonome, l’élève doit nécessairement créer des automatismes. En effet, le cerveau a besoin de libérer sa mémoire à court terme, dite « mémoire de travail » sinon elle sera alors surchargée : on parle alors de surcharge cognitive. L’élève, freiné par l’aspect technique, aura alors des difficultés à mener des raisonnements de manière autonome, à voir le problème dans sa globalité.

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Il est donc nécessaire et fondamental de travailler ces automatismes régulièrement tout au long de l’année.

L’élève a besoin de ces compétences calculatoires pour résoudre des problèmes « ouverts ». Cela va se faire notamment par des « gammes » de calculs techniques.

Cependant le professeur doit toujours veiller à proposer également des exercices où ces automatismes prendront sens (éviter les « recettes ») comme le rappelle le document ressource « le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée » . Le professeur doit veiller dans sa progression à établir un équilibre sain entre le « sens (problèmes) et la technique (gammes) »

1. Progression spiralée "à l’année" et "fil rouge"

Pour aider l’élève à la création de ces automatismes, le professeur pourra penser à effectuer une progression spiralée avec le calcul comme « fil rouge » tout au long de l’année

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Concernant l’Académie de la Réunion, le « fil rouge » concerne plus précisément le calcul littéral.

Au collège, nous proposons un exemple de progression spiralée sur l’année en 3ème dont le fil rouge est le calcul littéral : cet exemple est entièrement détaillé dans le document Annexe au paragraphe III. 1 : « Une année de calcul littéral en 3ème ».

Il montre de manière très détaillée, semaine par semaine, comment le calcul littéral est intégré dans les séquences du professeur par le biais des apprentissages parallèles (voir paragraphe suivant).

Cette expérimentation offre à chacun des pistes de réflexions pour bâtir sa propre progression.

2. Apprentissages parallèles

  • Les apprentissages parallèles consistent à travailler une notion qui n’est pas forcément liée à la séquence en cours.

  • Les apprentissages parallèles permettent de :
    • Préparer les apprentissages
    • Effectuer des remédiations et/ou des approfondissements
    • Traiter « en fil rouge » sur l’année, des chapitres (sans que cela fasse l’objet d’un thème « principal »).

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  • Un apprentissage parallèle peut se faire sous plusieurs formes :
    • 10 à 15 minutes pendant la séance :

      Le professeur doit anticiper les exercices proposés. Pour la correction, il peut ne demander que la solution pour gagner du temps. Il peut également prendre en photo plusieurs productions d’élèves afin de débattre sur les erreurs, les méthodes des élèves et développer ainsi la compétence « communiquer ».

    • Par des devoirs à la maison.

    • En accompagnement personnalisé ou en soutien.

  • Suivant l’organisation du professeur, un apprentissage parallèle pourra se faire de manière ponctuelle ou sinon sur une période plus longue (une semaine voire plus sur un thème donné).
  • Les apprentissages parallèles peuvent porter sur des notions antérieures (on évite des chapitres de révisions) ou des techniques nouvelles.
  • Les apprentissages parallèles permettent aux élèves de consolider les automatismes, de donner du temps à tous pour les acquérir. Ils s’intègrent totalement dans une progression spiralée.

2. Le calcul instrumenté permet de développer des compétences calculatoires



1. Le tableur

  • Le tableur est utile au collège dans le passage du numérique au littéral . Il a son rôle à jouer notamment dans l’approche de la notion de variable et le traitement d’expressions algébriques lorsque l’on insère une formule dans une cellule (qui joue le rôle de « variable » ).
  • « Le tableur est un outil précieux d’investigation »  : en générant plusieurs calculs, il permet à l’élève d’établir des conjectures et de résoudre des problèmes.

2. Les logiciels de calcul formel

Pouvant être initié au collège (suggéré dans les commentaires du programme de 3ème), le calcul formel prend toute son importance au lycée.

Comme nous le verrons dans les activités qui suivent, le calcul formel peut avoir plusieurs utilités dans le calcul algébrique :

  • Outil de « vérification ».
  • Travail sur les simplifications d’écriture au collège : les signes de multiplication implicites dans les expressions littérales doivent être explicités dans le logiciel de calcul formel WxMaxima.
  • Aide technique pour un calcul complexe (outil de différenciation).
  • Aide technique pour un calcul n’étant pas possible manuellement suivant un niveau donné (par exemple, il peut donner la forme canonique en seconde, qui n’est pas au programme).
  • Développer l’intelligence de calcul, notamment :
    • En réfléchissant sur la nature du résultat obtenu (analyse critique).
    • En choisissant la forme la mieux adaptée (factorisée, développée…) pour résoudre un problème.

3. Les logiciels d’algorithmique

L’apparition de l’algorithmique dans les programmes du lycée en 2009 apportent de nouvelles approches sur les notions étudiées (fonctions, suites…).

  • Pour analyser certains algorithmes (par exemple, les programmes de calcul…), la méthode pas à pas permet un retour sur le calcul numérique. Elle va permettre également de comprendre le statut de variable et de l’affectation en algorithmique.

    L’activité « Recherche de « N » tel que la somme de 1 à N soit égale à un nombre donné » propose une solution algorithmique étudiée par un groupe d’élèves .

  • Les logiciels d’algorithmique vont également permettre de générer plusieurs calculs et d’émettre des conjectures : c’est un outil d’investigation.
  • Les résultats obtenus par certains logiciels d’algorithmique permettent aux élèves de raisonner et de développer leur esprit critique.

Exemple :

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En seconde, on peut demander aux élèves de créer un algorithme (en les accompagnant éventuellement) pour établir l’éventuelle colinéarité de deux vecteurs.

On peut alors leur demander de tester leur programme sur des valeurs numériques.

Le logiciel Algobox ne prend que des valeurs approchées pour les calculs.

Ainsi, si on prend les vecteurs (4{ \sqrt{2} } ; 6) et (4 ; 3{ \sqrt{2} }), ces deux vecteurs sont colinéaires mais Algobox affichera qu’ils ne le sont pas.

Un retour au calcul manuel s’avère ici nécessaire pour le prouver, (la fonction « pas à pas » du logiciel peut permettre aux élèves de trouver la cause du résultat faux).


3. Réguler l’utilisation des outils numériques lors des apprentissages – Interaction entre le calcul manuel et instrumenté

Le calcul instrumenté est omniprésent dans la société actuelle. Le calcul instrumenté est un outil à présent important dans l’enseignement des mathématiques mais il a ses dérives.

Il est fondamental à présent que le professeur en prenne conscience et régule l’utilisation des outils numériques dans son enseignement.

Le calcul instrumenté permet de développer des compétences calculatoires sous certaines conditions comme le rappelle le document ressource « le calcul sous toutes ses formes » :

Il doit être proscrit en début d’apprentissage d’une notion calculatoire.

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Il va donc de la responsabilité du professeur de :

  • Réguler l’utilisation de l’outil numérique dans les phases d’apprentissage.

    Le professeur doit bien penser aux allers – retours entre le calcul manuel et instrumenté lors de ces phases d’apprentissage. Une « éducation » vis-à-vis de l’outil doit être faite auprès des élèves.

    Nous proposons dans nos activités des situations où l’élève doit notamment réfléchir sur l’utilité de l’outil numérique, sur sa nécessité dans la résolution du problème .

  • Ne pas réduire le calcul instrumenté à un simple outil de « vérification ».
  • Proposer ainsi des activités permettant de raisonner, d’avoir une réflexion sur les résultats obtenus, de développer l’autonomie dans la résolution de problèmes...

Les activités que nous proposons dans ce TRAAM ont notamment pour ambition d’éclairer les propos du document ressource.


4. Le calcul instrumenté permet une différenciation pédagogique lors de la résolution de problèmes

Le calcul instrumenté permet une différenciation lors de la résolution de problèmes :

  • Le calcul formel peut être une aide technique dans la résolution d’un problème « ouvert » pour des élèves en difficulté sur le calcul littéral (notamment sur un calcul trop technique).

    Cela permettra à l’élève de poursuivre dans un premier temps, le raisonnement dans la résolution globale du problème (une remédiation est à prévoir par la suite).

    Suivant le niveau de l’élève, le professeur peut également imposer une résolution manuelle ou instrumentée.

  • Le professeur peut également proposer des problèmes ouverts où plusieurs approches sont possibles permettant l’utilisation (combinée ou non) de plusieurs outils numériques.

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En 1ère, un problème d’évolution de salaires.

Le but est de comparer trois salaires modélisés par une suite arithmétique, géométrique et arithmético-géométrique.

Les élèves auront le choix entre :

  • Le calcul manuel
    • En faisant des calculs successifs.
    • En utilisant les formules explicites.
  • La calculatrice
  • Le tableur
  • Les logiciels d’algorithmique (notamment pour les problèmes de « seuil » : à partir de « quand » tel salaire dépasse « tant d’euros » ?)

Une différenciation peut se faire par le professeur au niveau de l’outil utilisé, de l’approche choisie.

Pour un élève ayant des facilités, le professeur pourra éventuellement l’orienter vers la démarche experte (suites et formule explicite) ou vers une démarche algorithmique.

Les autres pourront faire des calculs successifs, utiliser la calculatrice ou le tableur.

Dans la même idée, l’activité « Recherche de « N » tel que la somme de 1 à N soit égale à un nombre donné » propose diverses approches avec différents outils numériques (et notamment des logiciels d’algorithmique) pour résoudre le problème .

5. Former les élèves à une utilisation autonome et raisonnée des outils numériques


1. Plusieurs mises en place possibles du calcul instrumenté dans l’enseignement

Les outils numériques peuvent être utilisés :

  • En salle de cours équipée d’un ou de plusieurs ordinateurs et d’un vidéoprojecteur :
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    Dans les séances de cours usuels, le professeur peut introduire les fonctions principales :

    • du tableur : insérer, recopier une formule, construire un graphique…
    • du calcul formel : développer, factoriser, simplifier….

    Il peut ensuite demander régulièrement à un élève de venir piloter le logiciel lors d’une correction d’exercice, d’une activité.

    Si le professeur a la possibilité d’avoir 2 ou 3 ordinateurs dans la salle, les élèves peuvent également utiliser les logiciels « en libre-service » de manière autonome, lorsque le besoin se fait sentir, notamment lors de la résolution d’une tâche complexe .

    Ainsi, il n’est pas nécessaire d’aller systématiquement en salle informatique pour l’apprentissage technique des logiciels et faire des mathématiques avec les TICE.

  • En salle informatique
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    La salle informatique est utile pour l’apprentissage de logiciels plus techniques où tous les élèves doivent manipuler (par exemple les logiciels d’algorithmique).

    Cet apprentissage peut se faire lors de travaux dirigés par le professeur (« aller vers l’autonomie »).

    Cet apprentissage ne doit pas se faire au détriment d’une « réflexion mathématique » : ces travaux dirigés doivent toujours avoir comme but la résolution d’un problème mathématique où l’outil numérique s’avère utile.

    L’enseignant a pour objectif de développer des compétences disciplinaires mais aussi transversales (raisonner, communiquer, être autonome…).

    Le but n’est pas de faire des élèves de simples « techniciens » d’outils numériques ou des « programmeurs ».

    Il convient ainsi de bien séparer sur le document donné aux élèves la partie technique, de la partie mathématique.

    Un moment de synthèse doit être également fait sur les compétences mathématiques et numériques développées.

  • En dehors des cours (à la maison, dans l’établissement…)
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    Après avoir vu dans les séances usuelles ou en salle informatique les principales fonctions des logiciels, le professeur peut donner :

    • Des exercices « quotidiens » faisant intervenir les outils numériques.
    • Par exemple, le tableur dans un exercice de programme de calcul au collège ou encore la création d’un algorithme au lycée.

    • Des devoirs à la maison où l’intelligence de calcul est développée (interprétation des résultats, investigation…).

    Afin d’évaluer les productions des élèves, le professeur pourra demander :

    • L’imprimé des feuilles de calcul
    • Le fichier via une clé USB, l’ENT….

    Des exemples de devoirs à la maison utilisant les outils numériques afin de développer l’intelligence de calcul sont donnés dans le document Annexe .


2. Développer l’autonomie et l’intelligence de calcul

Comment développer l’utilisation autonome des outils numériques utiles lors de la résolution d’un problème ouvert ?

Comment développer au quotidien l’intelligence de calcul ?


Voici quelques pratiques utilisées par le groupe académique de la Réunion :

Le calcul instrumenté comme outil de vérification.

Très tôt dans l’année, lors de la correction de calculs techniques, on peut utiliser le calcul instrumenté comme outil de vérification. Ceci permettra notamment d’introduire les principales fonctions utiles du logiciel. On invitera ensuite régulièrement les élèves à piloter le logiciel de l’ordinateur du professeur. On pensera également à entretenir cette utilisation du logiciel tout au long de l’année notamment par le biais des apprentissages parallèles.

Le calcul instrumenté permet de raisonner « au quotidien », développe l’intelligence de calcul.

Lors de la correction de ces exercices techniques, on pourra commencer par faire réfléchir les élèves sur les résultats obtenus par le logiciel et développer ainsi l’intelligence de calcul.

Des activités « moins guidées » permettant de développer l’utilisation raisonnée des outils numériques.

Nous avons vu dans le paragraphe précédent comment travailler l’intelligence de calcul au quotidien sur des exercices techniques.

Lors de TD en salle informatique, de devoirs à la maison, en AP, nous pouvons également proposer des problèmes « moins guidés » permettant de « tendre vers l’autonomie ».

Ces problèmes ne sont pas totalement ouverts et les questions sont encore assez guidées mais elles ont pour but d’accompagner les élèves vers l’autonomie et de développer l’intelligence de calcul.

Les activités présentées au lycée dans ce document de synthèse illustre ces propos .


Les documents en Annexe présente également des devoirs à la maison, des activités fil rouge qui ont permis de développer cette autonomie vis-à-vis du logiciel ainsi que l’intelligence de calcul .

Des « tâches complexes » permettant de développer l’autonomie et l’intelligence de calcul.

L’objectif final de ce TRAAM est que les élèves puissent résoudre de manière autonome des problèmes ouverts en lien avec les capacités de calcul du programme avec l’apport éventuel des outils numériques. Des tâches complexes doivent être également proposées afin d’évaluer cette autonomie et les compétences calculatoires développées.

Le document de synthèse de l’Académie de la Réunion pour le TRAAM 2011-2012 offre divers scénarios de tâches complexes répondant à cette problématique .



Cette année, comme nous l’avons dit dans l’introduction, nous nous sommes davantage concentrés sur la problématique suivante : comment acquérir cette autonomie, comment développer les automatismes et l’intelligence de calcul au quotidien, sur l’année.


Nous avons essayé d’y répondre en adoptant régulièrement tout au long de l’année les diverses pratiques citées ci-dessus.

Dans le document Annexe, nous proposons également des « pistes de réflexions sur l’apprentissage du calcul ».


2. Activités au collège


1. Introduction

Suite aux idées présentées tout au long du paragraphe II, une progression spiralée (constituée de thèmes centraux et d’apprentissages parallèles) a été mise en place afin de permettre aux élèves de collège de développer des compétences calculatoires, de l’intelligence de calcul et de l’autonomie lors de la résolution de problèmes.

Dans le document Annexe , un exemple en classe de 3ème (personnalisé mais très largement explicité) est proposé.

Les principes énoncés précédemment y sont illustrés semaine après semaine.

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2. En Troisième

Activité : défi « factorisations »

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3. Activités au lycée général et technologique


1. En Seconde :

Activité : « Recherche des extremums d’une fonction »

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Activité : « Résolution d’équation du type f(x)=k »

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Activité : « Recherche de « N » tel que la somme de 1 à N

soit égale à un nombre donné »

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2. En Terminale S :

Activité : « Vers les dérivées des fonctions composées »

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4. Pistes de réflexion sur l’apprentissage du calcul

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Documents joints